\chapter{二体引力与劲度系数k的计算}
\author{李国斌}
\date{V1, 2025年7月8日 \\ V2, 2025年7月9日 \\ V3, 2025年7月10日}

\begin{abstract}
	本文研究了在$m_0 \gg m_1$条件下的二体引力问题。首先，根据开普勒定律和牛顿定律，详细推导了粒子$m_1$在椭圆轨道上的运动学与动力学方程，包括其线速度、角频率、动量、动能、势能及总能量表达式。随后，通过将粒子$m_1$在短轴交点附近的径向运动类比为简谐振动，推导出其等效劲度系数$k$的表达式$k = \frac{2G m_0 m_1}{b^3}$及其振动方程。最后，基于一个电子表面引力变形的假设模型，定义了电子云粒子并计算了其绕电子核旋转、绕原子核旋转以及相互碰撞三种特征频率，为后续深入探讨电磁力与引力的相互作用强度比率$k_{QG}$提供了理论基础。
\end{abstract}

\section{模型描述与基本方程推导}
\subsection{二体系统的运动学与动力学}
考虑两个球形粒子，质量分别为$m_0$和$m_1$，且满足$m_0 \gg m_1$。二者绕其共同的质心在椭圆轨道上运动，偏心率分别为$e_0$和$e_1$。由于$m_0 \gg m_1$，质心非常接近$m_0$的位置，可近似认为$m_0$固定，$m_1$在$m_0$的引力场中运动，其轨道是以$m_0$为一个焦点的椭圆。

根据开普勒第三定律，轨道周期$T$与半长轴$a$的关系为：
\begin{equation}
	T^2 = \frac{4\pi^2}{G(m_0 + m_1)} a^3 \approx \frac{4\pi^2}{G m_0} a^3
	\label{eq:kepler3}
\end{equation}
由此可得运动的角频率（平均角速度）为：
\begin{equation}
	\omega = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{G m_0}{a^3}}
	\label{eq:angular_frequency}
\end{equation}

在极坐标下（原点位于$m_0$），$m_1$的轨道方程为：
\begin{equation}
	r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e \cos \theta}
	\label{eq:orbit_eq}
\end{equation}
其中，$\theta$为真近点角，$e$为轨道偏心率，$b = a\sqrt{1-e^2}$为半短轴。

$m_1$的线速度$v$遵循活力公式：
\begin{equation}
	v^2 = G m_0 \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)
	\label{eq:vis_viva}
\end{equation}
其动量大小为：
\begin{equation}
	p = m_1 v = m_1 \sqrt{ G m_0 \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) }
	\label{eq:momentum}
\end{equation}

系统的动能$K$、势能$U$（取无穷远处为零势能点）和总能量$E$分别为：
\begin{align}
	K &= \frac{1}{2} m_1 v^2 = \frac{1}{2} m_1 G m_0 \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) \\
	U &= -\frac{G m_0 m_1}{r} \\
	E &= K + U = -\frac{G m_0 m_1}{2a}
	\label{eq:energies}
\end{align}

\subsection{振动方程与等效劲度系数$k$}
选取粒子$m_1$轨道与短轴的交点（即$\theta = \pi/2$或$3\pi/2$，此时$r = b$）作为径向运动的平衡位置（能量基准点）。定义$x = r - b$为粒子偏离此平衡位置的径向位移。

$m_1$的运动呈现周期性振荡特性：从远地点（$r_{\text{max}} = a(1+e)$）向近地点（$r_{\text{min}} = a(1-e)$）运动时，$r$减小，$v$增大，等效于受到指向$m_0$的引力（恢复力）；从近地点向远地点运动时，$r$增大，$v$减小，等效于受到背离$m_0$的斥力（恢复力）。此行为与简谐振子类似。

万有引力提供向心力，其大小为：
\begin{equation}
	F_g = -\frac{G m_0 m_1}{r^2}
	\label{eq:grav_force}
\end{equation}
在平衡位置$r = b$处，此力等于维持圆周运动所需的向心力$F_c = -m_1 \omega^2 b$。对于偏离平衡位置的小位移$x$，可将引力$F_g$在$r=b$处进行泰勒展开：
\begin{equation}
	F_g(r) \approx F_g(b) + \left. \frac{dF_g}{dr} \right|_{r=b} (r - b) = -\frac{G m_0 m_1}{b^2} + \left( \frac{2G m_0 m_1}{b^3} \right) x
	\label{eq:taylor_expansion}
\end{equation}
其中，第一项$F_g(b)$是平衡位置处的稳态力，用于提供向心力；第二项是与位移$x$成正比的恢复力：
\begin{equation}
	F_{\text{恢复}} = -\left( \frac{2G m_0 m_1}{b^3} \right) x
	\label{eq:restoring_force}
\end{equation}
此形式与胡克定律$F = -k x$完全相同。因此，该二体引力系统在径向的微振动可等效为一个劲度系数为
\begin{equation}
	k = \frac{2G m_0 m_1}{b^3}
	\label{eq:spring_constant}
\end{equation}
的弹簧振子。

该等效振子的振动角频率$\omega_v$为：
\begin{equation}
	\omega_v = \sqrt{\frac{k}{m_1}} = \sqrt{\frac{2G m_0}{b^3}}
	\label{eq:vibration_frequency}
\end{equation}
其振动方程可写为：
\begin{equation}
	\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_v^2 x = 0
	\label{eq:vibration_eq}
\end{equation}
相应的波动方程（若考虑沿轨道的相位传播）形式为：
\begin{equation}
	\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v_p^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial s^2}
	\label{eq:wave_eq}
\end{equation}
其中，$\psi$是波函数，$s$是沿轨道的弧长，$v_p$是波速（相速度）。

\section{电子云粒子模型与频率计算}
\subsection{模型描述}
假设在原子中，电子（质量$m_e$）在质子（质量$m_p$）的引力场中运动。由于质子的引力作用，电子表面发生变形，并吸附了$N_{eg}$个质量为$m_{eg}$的“电子云粒子”。这些粒子在电子表面无摩擦地滚动、碰撞（可用光滑粒子流体动力学，SPH模型描述）。该系统需满足质量守恒：
\begin{equation}
	m_e = m_{\text{ecore}}} + N_{eg} \cdot m_{eg}
\label{eq:mass_conservation}
\end{equation}
同时，电子云粒子的平均旋转运动应满足由等效劲度系数$k$所决定的动力学规律。

\subsection{频率计算}
现将电子云粒子视为粒子1 ($m_1 = m_{eg}$)，将电子核部分视为粒子0 ($m_0 = m_{\text{ecore}}}$)。
\begin{enumerate}
\item \textbf{电子云粒子绕电子核的旋转频率 $\omega_{eg}$}：\\
根据公式(\ref{eq:vibration_frequency})，其振动角频率即为旋转角频率：
\begin{equation}
\omega_{eg} = \sqrt{\frac{2G m_{ecore}}{b^3}}
\label{eq:omega_eg}
\end{equation}
其中$b$是电子云粒子绕电子核核心运动的轨道半短轴。

\item \textbf{电子云粒子绕原子核（质子）的旋转频率 $\omega_a$}：\\
将电子云粒子$m_{eg}$置于质子$m_p$的引力场中，其轨道运动满足开普勒定律。若其绕质子运动的轨道半长轴为$a_a$，则其角频率为：
\begin{equation}
\omega_a = \sqrt{\frac{G m_p}{a_a^3}}
\label{eq:omega_a}
\end{equation}

\item \textbf{电子云粒子的碰撞频率 $\omega_{\text{coll}}$}：\\
碰撞频率取决于电子云粒子在电子表面的数密度$n$、平均相对速度$\langle v_{\text{rel}} \rangle$以及碰撞截面$\sigma$。其估算公式为：
\begin{equation}
\omega_{\text{coll}} \approx n \cdot \langle v_{\text{rel}} \rangle \cdot \sigma
\label{eq:omega_coll}
\end{equation}
其中，$n = N_{eg} / (4\pi R_e^2)$（$R_e$为电子半径），$\langle v_{\text{rel}} \rangle$与$\omega_{eg} R_e$量级相当，$\sigma$与$m_{eg}$的几何截面有关。

\end{enumerate}

\subsection{电子云粒子轨道半径}
约为原子核半径的10倍。
$R_{eg} = 10 R_{p} $

半短轴约为半长轴的1/24，偏心率约4\%。

\subsection{频率比较}

\subsection{电子云粒子频率}
与电子频率一致。
验算推导：
